droite de hauteur et projection de mercator

Bonjour
Y'a un truc qui me me chiffonne depuis un moment :
Je lis ici (en dessous du planisphère ) qu'un cercle de hauteur n'est pas un cercle sur une projection de Mercator
fr.wikipedia.org[...]nomique
et je lis ailleurs que la conformité de la projection de Mercator est démontrée par les indicatrices de Tissot ....qui sont des cercles !
fr.wikipedia.org[...]_Tissot

Je me demandais également ce que devenait ces indicatrices quand l'un des pôles était sur le cercle ou à l'intérieur du cercle

J'avais trouvé sur internet quelque chose qui parlait de cercle de première grandeur ou de premier ordre qui répondait à ma question ......mais impossible de le retrouver
Quelqu’un s'est il déjà intéressé à ça ?
Merci

L'équipage
07 avr. 2020
07 avr. 2020

la projection de mercator c'est une boule éclairée au centre insérée dans un cylindre que l'on déplace pour aplatir la partie qui nous intéresse ,c'est plus facile à ranger dans une table à carte .forcement qu'il y a une déformation .
alain

07 avr. 202007 avr. 2020

La projection à plat d'une spère implique d'office des déformations. Donc un cercle de hauteur, cercle sur la sphère ne peut pas être un cercle sur une carte, qu'elle que soit la projection.

Maintenant La projection de Mercator a été choisie notamment parce que la déformation n'est pas trop grande sauf aux latitudes extrêmes et surtout parce qu'elle permet une droite pour une route à cap constant. (Et encore, orthodromie, loxodromie...)

Les indicateurs de Tissot indiquent la conformité d'une projection. Ainsi sur une projection Mercator, les cercles de Tissot sont très proches d'un vrai cercle (mais géométriquement pas un cercle exact) aux basses latitudes, mais sont complètement déformé aux poles. Donc on estime Mercator conforme jusque +/- 70 à 75 degrés.

Sur une carte Mercator, comme les méridiens sont parallèles, le point du Pole en une ligne, tout le dessus de la carte. Donc un cercle passant par un pole, sera représenté par une forme ouverte, sorte de parabole dont l'ouverture est tout le dessus de la carte.

07 avr. 2020

les deformations aux poles ne sont pas plus importante qu'à l'équateur c'est simplement une question d'echelle de la carte ..on developpe de la m^me façon une zone aux poles qu'ailleurs ...puisque l'on a affaire a une sphere (a peut pret) .. si l'on applique sur une zone au pole la m^me echelle qu'une zone à l'équateur par exemple on aura les memes deformations aux latitudes .

07 avr. 2020

Sur une projection de Mercator, si, les déformations sont plus importantes aux poles puisque le "cylindre de projection est tangeant à l'équateur. Il y a d'autres projections pour les poles.

07 avr. 2020

oui Micmarin si tu met le cylindre de projection tangeant à l'équateur ..mais si tu le met tangeant aux poles ..

prends une carte marine des poles elles ne sont pas plus deformé qu'ailleurs

07 avr. 2020

Oui, mais alors ce n'est plus une projection de Mercator et on sort du sujet du fil.

07 avr. 2020

je croie qu'il y a confusion ...le principe de Mercator est transposé sur tous les autre "cercle" de la m^me façon qu'elle est sur l'équateur ...c'est un principe , nos cartes marine de France sont Mercator avec un cylindre tengant par exemple au 45eme parallele donc nous n'avons peut de déformations aux latitudes extreme

07 avr. 202007 avr. 2020

Dans tous mes cours et livres de référence il est défini que le cylindre de projection de la projection Mercator est l'équateur.

Bien sur le "principe" peut être appliqué autrement, mais dans mes cartes marines, mes livres et cours ce n'est plus appelé "projection Mercator". Maintenant si chez toi c'est le cas, pas de problème pour moi.

Et pour info sur une carte en projection Mercator oblique, les parallèles et méridiens sont des courbes, pas des droites.

J'en resterai là de mon coté, je sens qu cela va être une discussion à n'en plus finir.

Amicalement

07 avr. 2020

ne mélanges tu pas cercle de hauteur et droite de hauteur ? les calculs consécutifs à la mesure d'une droite de hauteur sont de la géométrie sphérique donc où est le problème ?

07 avr. 2020

La droite de hauteur est la représentation sur la carte d'un segment du cercle de hauteur. Mais si on prend un planisphère, on pourrait y dessiner le cercle de hauteur complet, mais le dessin ne serait pas un cercle parfait sur la carte.

07 avr. 2020

@ Micmarin : oui mais on admet que, à l'endroit de la mesure, le cercle est une droite

07 avr. 2020

Et c'est parti..... 🙄

07 avr. 2020

Projection Mercator: C'est bien ce que dit Micmarin. Les autres projections cylindriques évoquées précédemment sont appelées Mercator obliques. Dans ce dernier cas le cylindre de projection est tangent à la zone géographique privilégiée.

07 avr. 2020

Bon, il y a ce dont je suis sûr et ce que je ne maîtrise pas
D’où la raison de ma question
Ce que je sais :
La projection de Mercator est une projection qui s'inspire de la projection cylindrique (la sphère tangente le cylindre à l'équateur et non pas sur le 45ème parallèle )en cela que les méridiens y sont parallèles
Pour la rendre conforme, Mercator a espacé ensuite les parallèles (latitudes croissantes) pour conserver la relation de cosinus existant entre la minute de latitude et celle de longitude
Les indicatrices de Tissot sont sur une carte conforme des cercles parfaits . Simplement ils sont de plus en plus grand au fur et a mesure que l'on s'éloigne de l'équateur
Ce qui me fait dire qu'un cercle de hauteur est aussi un cercle sur la carte, ce qui ne semble pas être l'avis de tous

Et là est ma première interrogation :en quoi un cercle de hauteur n'est pas un cercle sur la carte

Je sens néanmoins que quelque chose m'échappe puisque sur une telle projection les pôles sont rejetés a l'infini ce qui semble vouloir dire que leur rayon aurait une longueur infinie et l'on voit bien sur les cartes qui décrive le trajet des satellites (qui eux décrivent des orbites circulaires) que le tracé s'apparente a une sinusoïde
d'ou ma deuxième question :les indicatrices de Tissot pour être effective ne sont-elles pas limitées en taille (Tissot utilisait des indicatrice de 500 km) et jusqu'à quelle latitude peut-on les utiliser

Micmarin tu dis : Ainsi sur une projection Mercator, les cercles de Tissot sont très proches d'un vrai cercle (mais géométriquement pas un cercle exact) Moi je pense que ce sont des cercles exacts - j'ai essayé avec un compas, sur un globe terrestre et sur un planisphère Mercator et je tombe pile-poil

07 avr. 2020

Bon j'ai retrouvé le site dont je parlais
fred.elie.free.fr[...]ant.pdf
et je comprends encore moins
il va falloir qu'il prolonge le confinement pour que je puisse digérer tout ça
Il semble au premier abord que micmarin ai raison pour les cercles
Mais alors je me demande bien a quoi peuvent servir les indicatrices de Tissot

07 avr. 2020

Je ne suis pas spécialiste et je me garderai bien d'entrer dans les détails mais il me semble bien avoir appris il y a 50 ans lors de mes premiers pas dans la tenue d'une estime que la projection de Mercator s'obtient en projetant le globe sur un cylindre tangent à l'équateur. Il n'est pas question de déplacer ce cylindre. Ce procédé ne conserve pas les distances, c'est pourquoi on prend les mesures sur l'échelle du coté de la carte à hauteur du point sur lequel on travaille, mais il conserve les angles, ce qui n'est pas sans intérêt pour la navigation.

si tu relèves un amer très loin (par gonio par ex) l'angle mesuré est en suivant l'arce de grand cercle.
l'angle que tu mesures en ligne droite sur mercator est différent.
la position que tu vas tracer par deux relèvements à grande distance sera fausse si tu portes directement ces relèvements sur la carte mercator.
il faut en tenir compte avec la correction de Givry.
en pratique même avec nos gonios d'autrefois qui ne relevaient guère au delà de 100 milles on ne corrigeait pas l'erreur de mesure étant largement supérieure à Givry

08 avr. 2020

La correction de Givry permet aussi de tracer sur une carte Mercator l'ébauche de l'orthodromie ; c'est le même principe que décrit par Hubert, mais dans l'autre sens 😷

07 avr. 2020

Bon, j'ai écrit à l'école polytechnique
Peut être qu'avec le temps libre dont ils doivent maintenant disposer, ils prendrons le temps de me répondre

08 avr. 2020

Bonjour,
Je suis allée sur le premier lien que tu cites où il est dit que les cercles de hauteur ne sont pas des cercles sur la projection de Mercator. Et sur le dessin, effectivement les "cercle" bleu et rouges ne sont pas représentés par des cercles. Mais sur l'exemple en question, la projection utilisée n'est pas une projection Mercator, donc ça ne prouve rien.

La projection de Mercator (projection cylindrique, avec cylindre tangente à l'équateur) est une projection conforme. C'est-à-dire qu'un angle mesuré sur la surface du globe sera représenté par le même angle sur la carte. Ce qui est très pratique en navigation. Vous mesurez un angle sur la carte, vous suivez le même cap au compas (aux corrections indépendantes de la projection près...) et vous arrivez au bon endroit!

L'indicatrice de Tissot consiste à dessiner des cercles de taille identique à différents endroits de la sphère et de voir comment ils sont représentés sur une carte à plat dans une projection donnée. Pour Mercator, on va retrouver des cercles, justement parce que les angles sont conservés mais ils vont être de plus en plus grands en approchant aux pôles. Concrètement sur un planisphère en Mercator, les formes des pays sont conservées mais pas leur surface. Le Groeland est typiquement beaucoup plus grand sur une carte en Mercator qu'il ne l'est en réalité. C'est facile de le voir en comparant avec un globe.

Il existe des projections qui conservent la mesure des surfaces, mais pas les angles. On les dit projections équivalentes. Les cercles de Tissot deviennent alors des ellipses mais toutes de tailles identiques. Pour la petite histoire, le service du Cadastre utilisait une projection qui conservait la mesure des surfaces vu que les taxes foncières étaient calculées en fonction de la surface du terrain. Maintenant les logiciels calculent souvent les mesures directement en 3D, mais c'est pas forcément très simple...

Aucune projection ne conserve les angles et les surfaces. beaucoup d'entre elles ne conservent ni l'un ni l'autre.

Et pour la correction de Givry, je suis allée sur ce lien:
fr.wikipedia.org[...]e_Givry
Pour moi la phrase ci-dessous est fausse, et je subodore que c'est un raccourci qui finit par dire une chose fausse.
"Il s'agit de la correction à apporter aux mesures d'angles relevées sur une carte en projection de Mercator pour obtenir des angles sur la sphère terrestre"
La correction de Givry apporte bien une correction, mais c'est pour passer de la loxodromie à l'orthodromie. Elle effectue donc une correction, mais qui n'a rien à voir avec la projection de Mercator. Je réaffirme qu'un angle mesuré sur une projection de Mercator est l'angle mesuré sur la sphère terrestre, il n'a pas besoin de correction.

Quant à la mesure d'échelle, aucune projection ne conserve réellement la mesure de distances. Sur une projection de Mercator, on fait quand même des mesures de distance avec une échelle approximative liée à la latitude.

Et n'oubliez pas, quelque soit la carte (papier ou numérique) et quelque soit la projection, la carte n'a pas forcément une précision extraordinaire. Quand on parle de GPS, on ne sait pas forcément qu'il consiste en deux choses affichées l'une sur l'autre: la position GPS (latitude et longitude) et la carte en dessous. Or la précision de l'une est souvent inférieure à l'autre. La position GPS est souvent bien plus précise en elle-même que la carte affichée dessous...

Christine

08 avr. 2020

Pour Mercator, on va retrouver des cercles, justement parce que les angles sont conservés

Ceci ne veut rien dire, désolé. Cela semble difficile à comprendre qu'un cercle sur une sphère ne peut être un cercle sur une projection.

Je vais essayer d'expliquer cela "en marin" puisqu'il semble accepté que sur nos cartes marines l'échelle des latitudes n'est pas absolue, mais croissante. Pris aux pointes sèches les distances sont mesurées à la bonne latitude, pas trop haut, pas trop bas. OK?

Sur nos cartes, les angles sont concervés; OK. Donc on trace, 4 rayons à partir d'un centre (N, S, E, W). Puis au pointes sèches on mesure ls 4 rayons. Si les rayons E et W ont la même longueur en mm sur la carte, le rayon N sera plus grand (puisque mesuré plus haut) et le rayon S sera plus petit puisque mesurer plus "bas". Donc le cercle sera une ellipse.

Evidemment ces ellipses sur projection Mercator, pour autant que l'on n'aille pas au-dessus de 70 N, ressemblent très fort à des cercles (contrairement à d'autres projections). Donc par facilité, sur internet (mais pas dans les cours de cartographie!) on parle de cercle de différentes surfaces, mais c'est de l'à peu près. Ce n'est pas exact.

08 avr. 202016 juin 2020

Voilà, j'ai fait un petit exemple de principe:

Sur terre j'ai un cercle de rayon 1 mille, que je peux tracer avec un compas.

Puis je vais sur ma carte, et à partir du centre je trace le point 1 mille vers le nord, mesuré sur l'échelle des latitudes à la hauteur correspondante. Avec une latte je mesure, ce point est à cela 10 cm du centre. Le point vers l'E et l'W, mesuré sur l'échelle des latitudes au même endroit sont à 9 cm du centre. Le point S lui se trouve à 8 cm du centre, le mille vers le sud étant pris plus bas sur l'échelle des latitudes.

En fait ce n'est même pas une ellipse, c'est un oeuf. Mais en vraie proportion, un oeuf qui serait très très proche d'un cercle, mais que je ne peux pas tracer au compas.

08 avr. 2020

Non, ce n'est pas bon comme explication. Il n'est pas question de mesurer quoique ce soit sur une carte d'une manière précise et encore moins pour prouver une chose mathématique. Mesurer des distances sur une carte , ça fonctionne en navigation parce qu'on reste dans des tolérances très largement suffisantes pour trouver un port à quelques milles près... Mais aucune projection de permet de mesurer des distances exactes.
Les indicatrices de tissot restent des cercles: si on imagine un triangle équilatéral (trois angles identiques à 60°) dans un cercle, lors de sa représentation sur une projection Mercator, les angles étant conservés, on aura toujours un triangle équilatéral dans un cercle.

Je persiste aussi sur le fait que l'image donnée avec les cercles bleu et rouges n'est pas la projection classique de Mercator. Des projections Mercator, il y en a eu plusieurs mais celle utilisée en navigation est celle qu'on trouve ci-dessous et on peut voir que la forme des continents n'a rien à voir avec ce qu'on voit dans le lien avec les cercles.
fr.wikipedia.org[...]ercator

08 avr. 2020

Comme quoi il est difficile sur un forum de résumer un sujet aussi vaste en quelques postes.

Ici nous ne nous comprenons pas car nous parlons de deux choses différentes.

Moi je parle de la représentation sur carte d'un cercle terrestre, qui ne peut sur carte (quelle que soit sa projection) encore être un cercle. Je pensais en cela répondre à Hipparque.

Et donc un cercle de hauteur ne sera jamais un cercle sur une carte.

Maintenant, et c'est ce que tu exprimes, on peut dire ceci: les trois coins d'un triangle équilatéral sont sur la circonférence d'un cercle. Si on fait cet exercice sur une projection Mercator, oui, par construction d'angle et dessin d'un cercle, on aura un cercle sur la carte. Mais ce cercle ne sera pas l'image d'un cercle qui serait sur la sphère. C'est juste une construction géométrique qui prouve la conservation des angles.

Ou encore, une île parfaitement circulaire ne sera pas un cercle sur une carte, même si l'indicatrice de Tissot y construira un cercle.

Ou encore, sur une île circulaire les routes forment un triangle équilatéral. Ce ne sera pas le cas sur une carte. L'île ne sera pas un cercle et le triangle des routes ne sera plus équilatéral. En revanche, sur la carte rien n'empêchera de construire un triangle équilatéral et d'y circonscrire un cercle.

08 avr. 2020

Que voilà un exposé clair : je crois que j'ai à peu près compris !

08 avr. 2020

houla !
Il y a dans l'explication de Tinou une chose dont je suis sûr qu'elle n'est pas vraie :
Une route sur la sphère est différente d'une route sur la carte (sauf routes méridiennes et équatoriales) et cette différence est justement la correction de Givry que l'on utilisait autrefois pour corriger les relèvements gonio (orthodromie) avant de les tracer sur la carte (Loxodromie)
La carte sur le 1er lien est bien une projection Mercator (c'est marqué dans le cartouche) et d'ailleurs on retrouve ce schémas dans tous les traits de nav astro
Pour rebondir sur ce qui a été dis plus haut
La carte Mercator est conforme partout même aux hautes latitudes, mais simplement elle est alors inutilisable sauf a avoir une table a carte de 10 mètres sur 10 mètres et une règle de même longueur car les parallèles sont alors exagérément espacés et qu'il faudrait des trop grands formats pour représenter une région même a petite-échelle
Pour ce qui est des indicatrices de Tissot elle sont bien sûr de plus en plus grande au fur et a mesure que l'on monte en latitude mais ce qui m'intéresse et qui donnait sens à ma question, ce n'est pas le fait qu'elle soit de + en + grande mais qu'elle soit ronde
Ici un lien vers un site intéressant qui cite Michel Capderou professeur à Polytechnique a qui j'ai écrit
www.imcce.fr[...]tor.pdf
parce que, pour moi il y a une contradiction entre les deux affirmations suivantes
1-un cercle de hauteur (qui est un vrai cercle sur la sphère) n'en est pas un sur la carte Mercator
2-l'indicatrice de Tissot qui est un cercle sur la sphère en est un sur la carte Mercator et c'est d’ailleurs ce qui démontre sa conformité
voili Voilou

08 avr. 2020

"Il y a dans l'explication de Tinou une chose dont je suis sûr qu'elle n'est pas vraie :
Une route sur la sphère est différente d'une route sur la carte".

Je ne comprends pas ce que j'ai dit qui ne serait pas vrai. La loxodromie est une route à cap constant, l'orthodromie est la route la plus courte, donc l'arc de grand cercle sur un globe qui relie les deux points que l'on veut relier, celle-ci n'est pas à cap constant, sauf évidemment si on fait du plein sud ou nord.

08 avr. 2020

Mic marin
Je comprends ce que tu veux dire et je pense comme toi
Mais lis la page 15 de ce site et tu verra pourquoi je me pose la question
geodesie.ign.fr[...]3-0.pdf

08 avr. 2020

Je crois que la réponse est dans mon post plus haut, réponse à Tinou.

Dans ton document, il est dit en plusieurs endroits, page 8 et 54 notamment qu'il est impossible de représenter un cercle terrestre par un cercle sur carte.

Maintenant pour les indicatrices de Tissot, si l'on parle de construction de cercle (voir post plus haut), oui on peut construire un cercle parfait sur une projection Mercator. Mais ce cercle ne représente rien de terrestre, juste qu'il y a conservation des angles.

Mais (et c'est aussi dans ton document) à petite échelle, sur une carte (pas un planisphère) on peut représenter un cercle, à l'oeil, cela restera un cercle, même si mathématiquement ce n'en est pas un.

08 avr. 2020

Non, je suis désolée, mais oui un cercle sur la sphère peut être représenté par un cercle à condition d'utiliser une projection dite "conforme", comme l'est la projection de Mercator. C'est la définition des projections conforme. C'est-à-dire qu'un angle entre 3 points mesuré sur la sphère aura la même valeur mesuré sur la carte entre les 3 mêmes points. C'est d'ailleurs pour cela qu'on peut reporter un relèvement sur une carte et faire un point.

Une projection qui ne garde pas la mesure des angles mais celle des surfaces est dite "équivalente" et beaucoup de projections ne garde rien. Et aucune ne permet de garder la mesure des distances.

Si on mesure une distance sur une carte routière à l'échelle du 1/100 000 (1cm= 1km) ce sera toujours une approximation car en réalité l'échelle n'est pas constante sur toute la carte. Mais en général, on s'en moque complètement au vu de la précision dont on a besoin.

Christine, qui a travaillé 22ans à l'IGN.

08 avr. 2020

Désolé aussi, mais à part quelques cas particuliers, non, on ne peut reproduire une forme de la sphère sur une projection plane, quelle qu'elle soit. Il y a toujours des compromis. Depuis la nuit des temps.

Comme tu le dis UN angle entre trois points sur projection conforme est reproductible. L'angle en degrés, oui. Mais une forme, non, un sphère n'est tout simplement par développable.

D'ailleurs tu dis toi-même qu'aucune projection ne permet de garder les distances. Pourquoi les rayons d'un cercle le pourrait-il alors? Et pour moi un cercle avec des rayons de longueur différente n'est plus un cercle.

Pour la dernière fois, après je sors du fil, oui, on peut construire géométriquement un cercle (qui ne représente rien) sur une projection conforme, non, on ne peut représenter un cercle qui existe sur terre par un cercle sur une carte. Sauf l'un ou l'autre cas particulier.

08 avr. 2020

si on suit toujours le même cap à part le 90 et le 270 on finit à un pôle .
alain

08 avr. 2020

j'ai oublié de dire si on est sur l'équateur.
alain

08 avr. 2020

Tinou
c'est ça qui est faux:

La correction de Givry apporte bien une correction, mais c'est pour passer de la loxodromie à l'orthodromie. Elle effectue donc une correction, mais qui n'a rien à voir avec la projection de Mercator. Je réaffirme qu'un angle mesuré sur une projection de Mercator est l'angle mesuré sur la sphère terrestre, il n'a pas besoin de correction.

une droite tracé entre 2 points A et B sur une carte Mercator fait avec tous les méridiens un angle de route loxodromique
Une ficelle tendue sur la sphère entre les mêmes points A et B est une route orthodromique qui coupe les méridiens sous des angles qui changent tous le temps
L'angle entre le départ de la route orthodromique et l'angle de la route loxodromique est la correction de Givry
Il y a donc bien une correction (sauf route méridiennes ou équatoriales où loxo et ortho se confondent)
Mais peut être qu'on dit la même chose différemment

08 avr. 2020

Ce que tu dis est vrai sur la loxodromie et l'orthodromie avec tes deux points A et B et la correction de Givry. Ce n'est absolument pas contradictoire avec ce que je dis, bien au contraire.

08 avr. 2020

Bon je commence a avoir mal à la tête avec tous ces cercles ou pas cercles
Amis marins je vais maintenant boire un apéro a votre santé

A la bonne votre de Roscoff (le plus port de monde) et bon confinement à tous

08 avr. 2020

je voulais dire : le plus beau port du monde

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